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“黄方程”与“多声子跃迁理论”

  黄昆1919年9月生于北京,浙江省嘉兴人,固体物理、半导体物理学家,中国科学院院士。1941年毕业于燕京大学物理系。1947年获英国布里斯托大学博士学位。后在爱丁堡大学物理系、利物浦大学物理系做研究工作。1951年回国,受骋北京大学物理系教授,先后任半导体教研室主任,中国科学院半导体研究所所长等职。瑞典皇家科学院院士,第三世界科学院院士。主要从事固体物理理论、半导体物理学研究,取得多项国际水平的成果。是我国半导体物理学研究的开创者之一。出版了《固体物理学》、《半导体物理学》、《晶格动力学理论》(合著)等著作。黄昆的卓著成就获得国家和中国科学院的多项奖励。

  这对方程式能较好地解决一个带有极性的晶体里面原子的振动。最典型的即所谓在极性晶体里面的光学波,也即里面带正电和带负电粒子的相对振动。这在极性晶体里面是比较重要的。因为电子与晶体的相互作用,主要的是通过这些光学波。

  做这项工作的原因,是当时跟我在一起的一些同事,他们在研究这一带正负电的粒子的相对振动对介电函数的作用。研究这个问题,要对两种粒子相对振动的微观机理做很多的假设才能开始讨论。而我觉得他们搞的微观模型不能给以准确的描述,因为不但正负粒子间可以相互作用,而且,这些粒子由于都是带电的,电场会对这些粒子产生极化,使这些粒子本身产生新的电荷分布而引起电场。这在今天比较准确地来描述这些微观状况都是困难的,不要说在几十年前我做这一工作的时候。那时是没有法子做出比较准确一点的微观描述的。

  在这一背景下,我就想到从理论物理的观点看,这类问题应可以概括为具有普遍形式的理论方程。为此,一方面要考虑光学振动的动力学包含长程库仑作用的特点,其振动的恢复力既依赖于光学位移又依赖于宏观电场。另一方面则要知道决定宏观电场的电极化,它同样也是既依赖于光学位移又依赖于宏观电场。这就可以用一对唯象的方程来描述正负粒子的相互运动。由此我列出了一对对应以上两方面的线性唯象方程。这对方程解决的一个关键问题是根据能量守恒证明两方程中反映力-电交叉的系数间存在对易关系。由于这个关系,唯象方程只包含三个完全可以由实验确定的参数。在有了这对方程以后,就使得处理这类运动变得非常准确而且非常单纯。

  这对方程的意义,举例来说,就有点像弹性理论。弹性理论靠一对广义的虎克定律,即将介质里面的应力,写成是形变的线性函数。这在经典物理里面是非常基本的定律。根据这些方程可以推导出各种弹性波,这些方程系数(弹性系数)可以用实验来确定。如果设想我们要将这一弹性理论中弹性原子的微观相互作用都弄清楚,那这一理论就非常繁难。即使把一个弹性波推导出来,都要把微观结构弄清楚,这就非常繁琐和复杂。我提出的这一理论,就相当于这一弹性理论。不过,我提出的理论不是讲弹性运动,而是正负粒子相互振动的运动。我提出的方程,即是一对唯象方程。这对方程到现在还比较普遍地被采用来处理这类问题。它对晶体电子运动的描述是最基本的。

  这项工作,在当时,我提出方程后,就想找具体问题来加以应用,来说明这对方程的实际作用。当时,我在马克斯·玻恩处工作,他是全世界公认做晶格振动最权威的学者。有不少学生跟他一起在这方面做了很多研究工作。其中有一篇比较重要的推导带极性晶体里面光学振动的文章,具体去计算这样一些振动(用微观模型)。结果他做了以后,发现在计算中,当波长很长时,这一计算在数学上有发散的现象,在文章的最后就发散的原因解释是由于电磁波的传播是一个有限的光速来传播的,因他的计算没有考虑这一因素才产生发散。我对极性晶体的振动,知道其中有一个问题,即在长波时,由于库仑作用的长程性是引起发散的原因。所以我知道他们这个结论是不对的。不过,同时也引起了我的兴趣。如真要讨论有限速度对光学振动有什么影响,这是利用我那对方程的最典型例子。如用我这对方程并结合麦克斯韦方程就可得到完善解决,因为麦克斯韦方程中已考虑到了有限速度问题。这样一解,在数学中是非常简单的。最后的结果很有意思,两个方程结合,既有正负粒子的相互振动,也有电磁波的振动。这样的解,就有两种振动的耦合,形成新的振动的模式。当时,我将其作为文章写了出来。事后,十多年以后,在实验上确实证实了这种耦合振动的新的振动模式,因而引起了比较广泛的重视。而且给了这种振动模式的新名称叫“电磁耦子”(pokariton)。后来,这项工作还是作为在固体物理里面比较典型的一个问题。因为以后发现,不仅是晶体里正负粒子的相互振动可以与电磁波相互耦合起来形成新的振动模式,还有其他一些跟电磁波相互作用的一些运动模式也可以跟电磁波耦合起来,形成混合的新的振动模式,所以是固体物理中跟电磁波耦合的一种典型的振动模式,称其为“极化激元”。

  当时我做这一工作是从具体问题出发的,只不过后来证明,这一问题带着普遍性质。

  F中心是晶体的一种缺陷,它在当时是晶体物理中研究得最多的一种缺陷。实际上它是一种负离子的空位,即有个负离子不在那个位置上,就形成空位。这样它相当于一个正电荷的作用,它可以束缚一个电子,在它四周运动。这样的一种结构称之为F中心。它对光学作用非常明显,使晶体有了颜色,“F”是颜色的意思。现在对晶体里面缺陷的研究非常之多,非常之细,而研究最多和最细的就是“F”中心。

  F中心研究中很重要的一个手段是光谱,也即由于这个中心能够束缚电子,电子可以从一个基态吸收光子跳到一个更高的状态,这是光的吸收。光吸收的光谱,对于了解这个中心,是一种很基本的手段。

  1947年,我在参加一次科学讨论会时,听到一位当时研究发光问题的主要科学家介绍了F中心的光谱,很大一个特点是,平常我们知道,一个束缚电子从一个量子态跳到另一个量子态时,有一个确定的跃迁能量,所看到的光谱是线状光谱,即有一个确定的频率的光谱。可是,对F中心光谱来说,不是一条光谱线,而是一个光谱带,非常之宽,当时就知道,由于在分子物理里面有类似的情况,因为这不是单个原子那样,而是在晶体里面,而晶体中的离子都在振动,产生热运动。

  那时,这种很宽的光谱,都知道是由于原子的热运动而引起。当时的科学家讲,对这种光谱作一个理论是不可能的。因为算一算光谱的宽度,相当于几十个声子的能量,它之所以有宽度,是因为晶格振动的影响。

  对晶格振动的量子化叫声子,如果要产生这样的光谱的话,光谱的宽度相对于几十个声子的能量。过去处理这种问题最基本的方法是用微扰方法处理。

  按照电子与声子的相互作用,用微扰的方法只能有一个声子的变化,即增加一个声子或减少一个声子。如要做两个声子的变化,就得把微扰理论提高一级,即二级,如是几十个声子的话,则要把微扰进行几十次,这是不可想像的,这就是在理论上难以处理的一个难题。

  我当时听了这位学者的介绍,在脑子里有了较深的印象,即大家普遍见到的现象在理论上却难以描述。

  过了数年以后,我正在跟马克斯·玻恩写一本晶格振动的书,对原子的振动问题想得较多。我突然想到解决这个问题的线索,意识到应有一个可能解决这一问题的途径。即按照绝热近似理论,F中心电子辐射跃迁(光吸收和发射)前后,晶格原子的平衡位置应有所不同。因为我们知道电子由一个状态越到另一个状态,离子的平衡位置也会发生一定的变化,因为电子的位置变了,离子所受的力也不同了,所以离子的平衡位置就会有所变化。我当时想到了这一点,这就有一个重要的后果,我们描述晶格振动,如果平衡点没有移动,在一个跃迁的过程里,如电子与声子无作用,则声子数目不可能改变,这就称之为声子波函数的正交性,即每种声子模式数目都不变。如果声子数目一变,破坏了声子波函数的正交性,即在晶格发生位移后,在跃迁前后这两个波函数的重叠积分,即使声子数目变了,它也不等于零,是个有限的值。如原子在平衡位置的变化越大,声子改变的数目就越多。因为我们知道,晶格缺陷中的电子从一个量子态跃到另一量子态,电子四周的晶格离子的平衡位置一般会发生一定量的位移称为晶格弛豫。在缺陷电子跃迁中,如果电子与声子间无相互作用,则在电子跃迁前后声子数目不能改变。这是由于声子之间的正交性。但是当电子跃迁导致晶格弛豫时,就破坏了这种正交性,使声子数目在电子跃迁前后可以发生或多或少的变化。

  在上述的物理基础上,我成功地导出一个带有晶格弛豫的电子态发生多声子跃迁的系统理论。这个理论是通过一个简化模型获得的。这个模型最主要是假设所有理论中涉及的声子模都属于体长波声子模,所以是一个单频率模型。在这个模型中,每一个声子模和电子态的互作用具有无穷小的极限值,在这个条件下,每个模只需考虑一个声子的吸收或发射。在这个近似下,就不难获得一个可由熟知的解析函数表达的十分简洁的理论。

  显然理论依据的近似模型意味着理论的局限性。但是,我认为值得强调,由于近似模型而获得的十分简洁的理论成果对发展一项新的理论具有很重要的影响,我相信,正是由于这个原因,本项成果发表后,相当快地受到重视,并且出现了高水平后续工作。

  “黄方程”是在黄昆先生看到同事的研究工作遇到问题时,他用理论物理的观点,首先提出晶体中声子与电磁波的耦合波动模式及有关的基本方程。“多声子跃迁理论”是在他参加一次科学讨论时,对科学家提出的理论上的难题,留下较深刻印象,后来在写《晶格动力学》时,对原子的振动问题想的较多。最后通过一个简化模型解决了多声子跃迁的系统理论。从这两个案例中我们可以看出:黄昆先生最善于抓住问题的物理本质,以最简单的数学方式概括结果;对多年没有解决的重要问题,他决不放弃,在具备条件和方法时最终加以解决;他能解决别人解决不了的难题,这与他具有的科学根基和文化底蕴是密切相关的。

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